Je vous propose dans cet article de réaliser pas à pas et de découvrir l’une des plus belles preuves de ce monde.

Il s’agit de la droite d’Euler qui met en évidence une multitude de connaissances dont les élèves de cinquième sont capables de réaliser.

Il faut néanmoins faire pas mal de rappels au fur et mesure et bien évidemment se poser des questions (s’interroger) au préalable.

Tout d’abord, les prérequis à la réalisation :

  • Un compas (solide)
  • Une règle (non-graduée)
  • Un crayon à papier (bien taillé)
  • Des crayons de couleurs (ou feutres)

Sur une feuille blanche A4 (21cm x 29,7cm), dessiner un triangle quelconque (ni isocèle, ni rectangle, ni équilatéral).

Feuille blanche avec un triangle quelconque dessiné

Reproduire ce triangle de manière identique en superposant les feuilles les unes sur les autres.

Vous avez en votre possession trois feuilles avec le même triangle.

I – Construction des médiatrices

Sur la première feuille de votre choix (elles sont identiques et cela n’a pas d’importance, pas de panique ! Il en reste deux autres), tracer les médiatrices de chaque côté du triangle.

La question à se poser est : Qu’est-ce qu’une médiatrice ?

Les trois médiatrices obtenues se coupent normalement en un même point, nous pouvons dire qu’elles sont concourantes en un même point.

Quel est ce point ?

Le point d’intersection obtenu est le centre du cercle circonscrit.

En géométrie du triangle, le cercle circonscrit à un triangle (non plat) est l’unique cercle passant par ses trois sommets. Le centre de ce cercle est le point de concours des médiatrices des côtés du triangle.

Feuille 1 – Construction des médianes et du centre du cercle circonscrit au triangle

II – Construction des hauteurs

Sur la deuxième feuille de votre choix (elles sont identiques et cela n’a pas d’importance, pas de panique, il en reste une autre ! ), tracer les hauteurs du triangle.

La question à se poser est : Qu’est-ce qu’une hauteur ? (Article à venir sur la hauteur définition et propriétés)

Désormais, comme vous savez tracer sans équerre des droites perpendiculaires grâce à la médiatrice, vous pouvez tracer les hauteurs. Les trois hauteurs obtenues se coupent normalement en un même point, elles sont aussi concourantes en un même point.

Quel est ce point ? (Article à venir sur le centre du cercle circonscrit)

Le point d’intersection obtenu est l’orthocentre.

Figure 2 – Construction des hauteurs et de l’orthocentre

III – Construction des médianes

Sur la troisième et dernière feuille (Panique, il n’en reste plus ! ), tracer les médianes du triangle.

La question à se poser est : Qu’est-ce qu’une médiane ? (Article à venir sur la médiane définition et propriétés)

Désormais, comme vous savez tracer des milieux de segments grâce à la médiatrice sans règle graduée, vous pouvez tracer les médianes.

Les trois médianes obtenues se coupent normalement en un même point. Elles sont aussi concourantes en un même point !

Quel est ce point ? (Article à venir sur le centre de gravité)

Le point d’intersection obtenu est le centre de gravité.

Feuille 3 – Construction des médianes et du centre de gravité

IV – Construction de la droite d’Euler

Voilà ce que l’on obtient au final après superposition des feuilles sur une vitre de fenêtre sur fond de lumière du jour ! Magnifique n’est-ce pas ?

Feuille combinant toutes les constructions

Nous pouvons observer que le centre du cercle circonscrit, l’orthocentre et le centre de gravité appartiennent tous les trois à une même droite appelée droite d’Euler. Euler était un mathématicien suisse du  XVIIIᵉ siècle.

Dans un autre article, je prolongerai cette construction avec celle du cercle d’Euler.

Je mets à disposition en téléchargement gracieux le protocole de construction pour le logiciel GeoGebra.

 

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<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" lang="en" xml:lang="en"><head>
<title>GeoGebra - Protocole de construction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=utf-8"></head>
<body>
<table border="1">
<tr>
<th>Nom</th>
<th>Définition</th>
<th>Valeur</th>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#1B1BCD">Point A</span></td>
<td> </td>
<td><span style="color:#1B1BCD">A = (1.92, -0.55)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#1B1BCD">Point B</span></td>
<td> </td>
<td><span style="color:#1B1BCD">B = (5.92, 4.45)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#1B1BCD">Point C</span></td>
<td> </td>
<td><span style="color:#1B1BCD">C = (13.92, 1.45)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#993300">Triangle t1</span></td>
<td><span style="color:#993300">Polygone(A, B, C)</span></td>
<td><span style="color:#993300">t1 = 26</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#993300">Segment c</span></td>
<td><span style="color:#993300">Segment(A, B, t1)</span></td>
<td><span style="color:#993300">c = 6.4</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#993300">Segment a</span></td>
<td><span style="color:#993300">Segment(B, C, t1)</span></td>
<td><span style="color:#993300">a = 8.54</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#993300">Segment b</span></td>
<td><span style="color:#993300">Segment(C, A, t1)</span></td>
<td><span style="color:#993300">b = 12.17</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#DC0000">Droite f</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">Médiatrice(A, B)</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">f: -4x - 5y = -25.44</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#DC0000">Droite g</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">Médiatrice(A, C)</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">g: -12x - 2y = -95.95</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#DC0000">Droite h</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">Médiatrice(C, B)</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">h: 8x - 3y = 70.52</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#444444">Point CentreDuCercleCirconscrit</span></td>
<td><span style="color:#444444">Intersection(f, g)</span></td>
<td><span style="color:#444444">CentreDuCercleCirconscrit = (8.25, -1.51)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#1B1BCD">Point E</span></td>
<td> </td>
<td><span style="color:#1B1BCD">E = (10.05, 6.26)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#444444">Point F</span></td>
<td><span style="color:#444444">MilieuCentre(B, A)</span></td>
<td><span style="color:#444444">F = (3.92, 1.95)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#444444">Point G</span></td>
<td><span style="color:#444444">MilieuCentre(B, C)</span></td>
<td><span style="color:#444444">G = (9.92, 2.95)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#444444">Point H</span></td>
<td><span style="color:#444444">MilieuCentre(A, C)</span></td>
<td><span style="color:#444444">H = (7.92, 0.45)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#0000FF">Demi-droite i</span></td>
<td><span style="color:#0000FF">DemiDroite(B, H)</span></td>
<td><span style="color:#0000FF">i: 4x + 2y = 32.59</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#0000FF">Demi-droite j</span></td>
<td><span style="color:#0000FF">DemiDroite(C, F)</span></td>
<td><span style="color:#0000FF">j: -0.5x - 10y = -21.47</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#0000FF">Demi-droite k</span></td>
<td><span style="color:#0000FF">DemiDroite(A, G)</span></td>
<td><span style="color:#0000FF">k: -3.5x + 8y = -11.12</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#444444">Point CentreDeGravit鼯span></td>
<td><span style="color:#444444">Intersection(i, j)</span></td>
<td><span style="color:#444444">CentreDeGravit頽 (7.25, 1.78)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#00FF00">Droite l</span></td>
<td><span style="color:#00FF00">Perpendiculaire(B, b)</span></td>
<td><span style="color:#00FF00">l: 12x + 2y = 79.95</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#00FF00">Droite m</span></td>
<td><span style="color:#00FF00">Perpendiculaire(C, c)</span></td>
<td><span style="color:#00FF00">m: -4x - 5y = -62.94</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#00FF00">Droite n</span></td>
<td><span style="color:#00FF00">Perpendiculaire(A, a)</span></td>
<td><span style="color:#00FF00">n: -8x + 3y = -17.02</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#444444">Point Orthocentre</span></td>
<td><span style="color:#444444">Intersection(l, m)</span></td>
<td><span style="color:#444444">Orthocentre = (5.27, 8.37)</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td>Droite DroiteEuler</td>
<td>Droite(Orthocentre, CentreDuCercleCirconscrit)</td>
<td>DroiteEuler: 9.88x + 2.98y = 77.02</td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#DC0000">Cercle d</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">Cercle(CentreDuCercleCirconscrit, C)</span></td>
<td><span style="color:#DC0000">d: (x - 8.25)² + (y + 1.51)² = 40.95</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#7D3E49">Demi-droite p</span></td>
<td><span style="color:#7D3E49">DemiDroite(C, B)</span></td>
<td><span style="color:#7D3E49">p: -3x - 8y = -53.37</span></td>
</tr>
<tr style='vertical-align:baseline;'>
<td><span style="color:#7D3E49">Demi-droite q</span></td>
<td><span style="color:#7D3E49">DemiDroite(A, B)</span></td>
<td><span style="color:#7D3E49">q: -5x + 4y = -11.8</span></td>
</tr>
</table>
Created with <a href="https://www.geogebra.org/" target="_blank" >GeoGebra</a>
<!-- Base64 string so that this file can be opened in GeoGebra with File -> Open -->
<applet width='1' height='1' code='' style="display:none">
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